SOLIDOS DE REVOLUCION

    

SOLIDOS DE REVOLUCION

Cuando una figura plana gira alrededor de un eje se obtiene un cuerpo de revolución.
Los tres cuerpos de revolución más importantes son:
- el cilindro
- el cono
- la esfera.

                 CILINDRO
Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución .El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también se llama cilindro .En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia unípara métrica de líneas paralelas.

Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto.

Para desarrollar o dibujar un cilindro, ver figura:

 

 

Área del cilindro:

El área lateral del cilindro está determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo corresponde al perímetro de su base, es decir a 2 Π r, y cuyo ancho es la medida de la altura del cilindro, o sea h.
Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula: 
 

Área lateral = perímetro de la base x altura

Alateral = 2 π r . h

Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dos regiones circulares basales, obtenemos el área total del cilindro.

Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:

Área total = área lateral + 2 x área de la base

Atotal = Alateral + 2Abase

Entonces,
A_total = 2 Π r h + 2 Π r²
Por lo tanto:
A_total = 2 Π r ( h + r )

Volumen del cilindro:

Para un cilindro circular, su volumen (V) es igual al producto del área del círculo basal por su altura (h). 

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
 

Volumen del cilindro = área de la base x altura
Es decir,	Vcilindro= Abase · h
	Vcilindro= Π r2 · h

EL CONO

 

El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

 

El desarrollo o la confección de un cono se indica en la siguiente figura:

Área del cono:

Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:

Área lateral = (perímetro de la base × generatriz ÷ 2

Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:

Área total = área lateral + área de la base

Volumen del cono:

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cono = (área de la base × altura) ÷ 3

El volumen de un cono cualquiera equivale a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y de igual altura que ese cono. Por ello es que basta dividir por tres (3) o multiplicar por un tercio (1/3) el volumen del cilindro para conocer el volumen del cono allí contenido.

 

                LA ESFERA

Centro:

Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio:

Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.

Cuerda:

Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

Diámetro:

Cuerda que pasa por el centro.

Polos:

Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

 

Cálculo del radio de una esfera:

Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y la radio de la seccion, aplicando el Teorema de Pitagoras en el triangulo sombreado:

 

Volumen de la esfera: